La solution générale de l'équa diff = solution particulière (quand y = cste) + solution de l'équation homogène (dans ton cas l'équation homogène est y'+0,042=0, tu enlèves le second membre).

Donc :

1) Tu cherches une fonction constante Y donc Y'=0 --> 0,042Y=0,798 --> Y = 0,798/0,042 = 19. C'est la solution particulière de l'équation différentielle.
La solution de l'équation homogène c'est un théorème c'est tout fait et c'est : y(x)=a*exp(-0,042x) avec a réel (qu'on connait pas encore)

Donc pour la solution générale t'ajoutes les deux : theta(x) = a*exp(-0,042x) + 19.

2) Avec les conditions initiales sur la fonction tu peux trouver le petit a. Pas très bien défini dans le texte mais j'ai l'impression que theta(0) = 100. Du coup en partant de l'équation tu remplaces : theta(0) = 100 = a*exp(-0,042*0)+19 --> 81 = a donc theta (t) = 81*exp(-0,042*t)+19.

Fait à l'arrache j'espère que c'est bon et clair.

Pour ton deuxième screenshot, ils te donnent limite la solution :

1) Une primitive est donnée en dernière ligne de l'encadrée (que j'appelle F(x)). Pour la solution tu fais F(2) - F(0)

2)
a) Propriété de ln(x) : ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; ln(a/b)= ln(a) - ln(b).

Donc ln(x-1) + ln(2x) - ln(x) = ln((x-1) * 2x) / x) = ln ( (x-1) * 2 ) = ln (2x - 2).

et pour la deuxième ligne de l'encadré, ln(x)=0 <==> x=1 parce que ln est bijective sur son ensemble de définition.
donc on veut 2x - 2 = 1 --> x= 3/2

b) Il faut forcément que x soit supérieur à 1 sinon la fonction n'est pas définie. Ensuite vu que la fonction est croissante et bijective et qu'on vient de montrer qu'elle est nulle pour x=3/2, il faut forcément que ça soit inférieur à 3/2.

Tu devrais faire tes exercices ils sont pas ultra durs. T'as de la chance que je me fasse vraiment chier.

J'éspère que tu lui a acheté une Dragon Lore pour ça :D